ございまする (or ござりまする) is an archaic masu-form of ござる.
ござる is an irregular verb whose masu-form is not ござります but ございます. And -まする is one of the old forms of -ます.
[補説]室町時代以降の語で、古くは未然形に「まさ」、終止・連体形に「まする」、命令形に「ませい」が用いられることもある。その成立については、「座 (ま) す」「申す」「おはす」を起源とする説があるが、「まゐらす→まらする→まるする→まっする→まっす→ます」と変化したものを本流とみる説が有力である。
Today, this is part of the role language of samurai, and you can commonly hear -まする used in samurai dramas. Real girls in modern Japan never use this unless they are imitating someone.
EDIT: 乗りましょうでございまする is an ungrammatical statement in standard Japanese. This type of "unconditional copula or copula-likes (なのだ, なのです, である, です, etc.)" is キャラ語尾 used to characterize fictional characters (mainly in manga and TV programs for children). See: this and this