Nesting ~させる is not really common:
- (1) 少女は犬をひったくりに噛みつかせる。 (OK, simple)
- (2) (?) 警察官は少女に犬をひったくりに噛みつかせさせる。 (may not be wrong, but very hard to understand)
- (3) (*) 私は警察官に少女に犬をひったくりに噛みつかせさせさせたい。 (almost gibberish)
An easy and natural way is to use ~するよう(に) (≒"so that ~") and say like this:
- (4) 少女が犬をひったくりに噛みつかせるよう、警察官に言わせたい。
- (5) 私は警察官に、少女に犬をひったくりに噛みつかせるよう言ってほしい。
- (6) 少女の犬がひったくりに噛みつくよう、警察官に言って欲しい。
(using no causative せる/させる at all. It's obvious that 警察官 is saying something not the 犬 but to the 少女, so this should be enough)
It's much harder for me to translate this without using よう.
- (7) (?) 私は警察官に、少女に犬にひったくりを噛みつかせさせて欲しい。
(using (2) above, but even harder to understand)
- (8) (?) 私は警察官に、少女に犬にひったくりを噛みつかせることをさせて欲しい。
The last one is the closest to your translation attempt, but ~ことをさせる isn't not common in the first place.
Note that ~て欲しい can be used only for the speaker's own desire.