According to デジタル大辞泉「ないで」補説, the で could be the particle で or the continuative form of the auxiliary だ, or the whole ないで could be a conjunctive particle, but practically speaking, you can treat Verb+ないで as a te-form of Verb+ない* (Source:アルク 「動詞+なくて」と「動詞+ないで」の違いは?), like this:
しないで + ください -- Please don't.
いかないで + ください -- Please don't go.
見ないで + ほしい -- I don't want you to see.
泣かないで + いい (≂泣かなくていい) -- You don't have to cry.
Compare:
して + ください -- Please do.
行って + ください -- Please go.
見て + ほしい -- I want you to see.
食べて + いい -- You may eat.
*The te-form of Verb+ない is Verb+なくて. Verb+なくて and Verb+ないで are interchangeable in some usages, but not always. For example, you say 行かないでください, 行かないでほしい, 行かなくてはならない but not *行かなくてください, *行かなくてほしい, *行かないではならない.
危ないですから行かないでください。
行かないでください、危ないですから。
You'd use the former normal word order in writing and formal speech.
The latter is only seen in rather casual speech. It can be like you're saying it hurriedly, or you decided to add the latter half while saying the first half.